30分のミニ講義を聴講しよう！数える楽しさ 群の表現と数え上げ組合せ論
高校でも習う数え上げや組合せの数などが、どのように大学の数学にも関係しているか紹介します。特に、代数学で習う群の構造を調べる上で、いろいろな面白い構造の数え上げを考察することが役に立つことがあり、数えることの楽しさを紹介します。
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数える楽しさ 群の表現と数え上げ組合せ論
先生からのメッセージ
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最先端の研究を支える「代数」高度なコンピュータが先進的な分野だけでなく、私たちの生活を支える存在になろうとしています。情報科学についての研究は、実は2000年以上も前からたゆまず発展してきた数学が土台となっています。コンピュータは、素子の状態で0と1からなる数を表しますが、代数学の概念である有限体が利用されています。数のある性質を抽象した構造を扱うのが代数学であり、構造の持つ整合性や美しさを追求してきたのが数学です。数学を学ぶことによって、このような形式的な理論を操作するための論理的基礎が形成され、いろいろな問題の定式化や問題解決の能力を身につけることができます。さらなる美しさを求めて「代数的組合せ論」は、群の表現論と関連の深いものです。数学では、具体的対象を調べる研究を組合せ論と言います。「群」というのは、数学で古来より使われてきた対称性を調べるための道具でしたが、次第に抽象化し「群論」と呼ばれるようになりました。群の表現論とは、理論物理学などで始まった概念で、群のベクトル空間への作用を調べることによって群を調べる理論です。数学は物理学などから発せられる疑問を解決することが多いのですが、一方で、数学的完璧性を求めて閉じた理論にすることも多いのです。具体的な群や表現を調べる研究が組合せ論になりますが、さらに美的完璧性を求めて発展したいろいろな問題を考察します。論理的思考は国の将来につながる数学の理論を理解するためには、論理的思考を身につける必要があります。実験系の物理学や化学と異なり、数学の理論は、すべて論理の上に成り立ち、公理から始まり、論理を積み上げていくことで、理論が構成されます。時に難解で、実用的な側面が少ないと思われがちですが、現在の情報科学やAIなどは、実際のもの作りとは異なり、すべて、このような論理という数学を土台にコンピュータの中に作られた新しい世界です。現在では「国の力は数学によって決まる」と言われるほど、今後の技術革新に必要とされています。